밀도 (다포체)
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1. 개요
밀도(다포체)는 다각형, 다면체, 폴리코론(4차원 다포체) 등 기하학적 대상의 특성을 나타내는 개념이다. 다각형의 밀도는 경계가 중심을 감싸는 횟수를 의미하며, 별 다각형의 경우 꼭짓점의 회전각 합을 360°로 나눈 값으로 계산한다. 다면체의 밀도는 아서 케일리가 오일러 공식을 수정하여 별 정다면체에 적용하면서 도입되었으며, 꼭짓점 도형과 면의 밀도를 활용하여 계산한다. 4차원 다포체인 폴리코론의 경우 슐레플리-헤스 폴리코론 10개가 있으며, 밀도는 4, 6, 20, 66, 76, 191 중 하나이다.
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| 밀도 (다포체) | |
|---|---|
| 밀도 (다포체) | |
| 정의 | 다포체의 면이 중심을 감싸는 횟수 |
| 기호 | δ |
| 관련 항목 | 별 다각형 별 다면체 슈레플리 기호 |
| 예시 | |
| 오각별 | 1 |
| 대 오각별 | 2 |
| 작은 별모양 십이면체 | 1 |
| 큰 별모양 십이면체 | 2 |
| 큰 십이면체 | 2 |
| 큰 이십면체 | 4 |
2. 다각형
다각형의 밀도는 다각형 경계가 중심을 몇 번 감아 도는지를 나타내는 값으로, 중심점 주변 경계의 감김수와 같다. 볼록 다각형이나 자기 교차하지 않는 단순 다각형의 경우, 요르단 곡선 정리에 따라 밀도는 1이다.
다각형의 밀도는 회전수라고도 불리며, 모든 꼭짓점에서의 회전각의 총합을 360°로 나눈 값과 같다. 이는 평면 위 모든 폐곡선 경로에 대해 정수가 된다.
여러 다각형이 합쳐진 합성 다각형의 밀도는 각 구성 다각형의 밀도를 모두 더한 값과 같다.
2. 1. 정다각형
별 다각형의 밀도는 다각형의 경계가 중심을 몇 번 둘러싸는지를 나타내는 값으로, 중심점 주변 경계의 감김수와 같다.별 정다각형 {''p''/''q''}의 밀도는 ''q''이다.
이 값은 다각형의 중심에서 시작하여 무한히 뻗어나가는 반직선을 그렸을 때, 이 반직선과 다각형의 변들이 교차하는 최소 횟수를 세어 시각적으로 확인할 수 있다.
2. 2. 예시
'''별 다각형의 밀도'''는 다각형의 경계가 중심을 둘러싸는 횟수이며, 이것은 중심점 주변의 경계에 대한 감김수이다.별 정다각형 {''p''/''q''}에 대해서, 밀도는 ''q''이다.
이것은 중심에서 무한으로 뻗어나가는 반직선에 교차하는 변의 최소 개수로 시각적으로 결정할 수 있다.
3. 다면체
아서 케일리는 오일러의 다면체 공식 (''V'' − ''E'' + ''F'' = 2)을 별 정다면체에도 적용하기 위해 '밀도'라는 개념을 도입했다. 이 수정된 공식을 이용하여, 예를 들어 큰 이십면체 {3, 5/2}의 밀도가 7임을 계산할 수 있다.[6]
별 정다면체는 두 쌍의 쌍대 관계로 존재하며, 각 다면체는 자신의 쌍대와 동일한 밀도를 가진다. 한 쌍(작은 별모양 십이면체와 큰 십이면체)은 밀도 3을 가지고, 다른 쌍(큰 별모양 십이면체와 큰 이십면체)은 밀도 7을 가진다.
이후 헤스(Hess)는 밀도 개념을 더욱 일반화하여 다양한 종류의 면을 가진 별 다면체에도 적용할 수 있도록 공식을 확장했다. 이 개념은 콕서터(Coxeter) 등이 주요 고른 다면체의 밀도를 결정하는 데 활용되었다.[7]
그러나 모든 다면체에 밀도를 정의할 수 있는 것은 아니다. 일부 면이 다면체의 중심을 통과하는 반다면체나 방향을 정할 수 없는(비가향) 다면체의 경우에는 밀도를 명확하게 정의하기 어렵다.
다면체와 그 쌍대는 항상 동일한 밀도를 갖는다.
3. 1. 총 곡률
다면체는 가우스 곡률이 꼭짓점에 집중되어 있고 각 결손으로 정의되는 표면으로 간주할 수 있다. 다면체의 밀도는 모든 꼭짓점에 대해 합산된 총 곡률을 4π로 나눈 값과 같다.[2]예를 들어, 정육면체는 8개의 꼭짓점을 가지고 있으며, 각 꼭짓점에는 3개의 정사각형이 만나므로 각 결손은 π/2이다. 모든 꼭짓점의 각 결손을 합하면 8 × (π/2) = 4π가 된다. 따라서 정육면체의 밀도는 4π / 4π = 1이다.
3. 2. 단순 다면체
v=8, e=12, f=6.]]
3. 3. 케플러-푸앵소 다면체
아서 케일리는 오일러의 다면체 공식 (''V'' − ''E'' + ''F'' = 2)을 별 정다면체에도 적용할 수 있도록 수정하면서 '밀도'라는 개념을 사용했다. 이 수정된 공식에서 ''d''v는 꼭짓점 도형의 밀도, ''d''f는 면의 밀도, ''D''는 다면체 전체의 밀도를 나타낸다.[3]
: ''d''v''V'' − ''E'' + ''d''f''F'' = 2''D''
예를 들어, 큰 이십면체 {3, 5/2}는 20개의 삼각형 면(''d''f = 1), 30개의 모서리, 그리고 12개의 오각별 모양 꼭짓점 도형(''d''v = 2)을 가진다. 이 값들을 공식에 대입하면 다음과 같다.
: 2 · 12 − 30 + 1 · 20 = 24 − 30 + 20 = 14 = 2''D''
따라서 큰 이십면체의 밀도 ''D''는 7이라는 것을 알 수 있다. 반면, 수정되지 않은 원래의 오일러 다면체 공식은 작은 별모양 십이면체 {5/2, 5}와 그 쌍대다면체인 큰 십이면체 {5, 5/2}에는 적용되지 않는데, 이 다면체들의 경우 ''V'' − ''E'' + ''F'' = −6 이기 때문이다.
별 정다면체들은 두 개의 쌍대쌍으로 존재하며, 각 다면체는 자신의 쌍대다면체와 동일한 밀도를 가진다.
- 작은 별모양 십이면체 {5/2, 5}와 큰 십이면체 {5, 5/2} 쌍: 밀도 3
- 큰 별모양 십이면체 {5/2, 3}와 큰 이십면체 {3, 5/2} 쌍: 밀도 7
헤스(Hess)는 이 개념을 더 발전시켜, 일부 면이 다른 면 뒤로 접힐 수 있는 다른 종류의 면을 가진 별 다면체에 대한 공식을 일반화했다. 이때 계산된 밀도는 해당 다면체와 관련된 구면 다면체가 구를 몇 번 덮는지를 나타낸다.
이러한 밀도 개념은 콕서터(Coxeter) 등이 주요 고른 다면체의 밀도를 결정하는 데 사용되었다.[7]
그러나 일부 면이 다면체의 중심을 통과하는 반다면체나 방향을 정할 수 없는(비가향) 다면체의 경우에는 밀도를 명확하게 정의할 수 없다.
3. 4. 일반적인 별 다면체
아서 케일리는 오일러의 다면체 공식 (''V'' − ''E'' + ''F'' = 2)을 별 정다면체에도 적용할 수 있도록 수정하면서 '밀도'라는 개념을 사용했다. 이 수정된 공식에서 ''d''v는 꼭짓점 도형의 밀도, ''d''f는 면의 밀도, 그리고 ''D''는 다면체 전체의 밀도를 나타낸다:[6]: ''d''v ''V'' − ''E'' + ''d''''f'' ''F'' = 2''D''
예를 들어, 큰 이십면체 {3, 5/2}는 20개의 삼각형 면(''d''f = 1), 30개의 모서리, 그리고 12개의 오각성 꼭짓점 도형(''d''v = 2)을 가진다. 이 값들을 공식에 대입하면 다음과 같다:
: 2 · 12 − 30 + 1 · 20 = 14 = 2''D''
이를 통해 큰 이십면체의 밀도(''D'')가 7임을 알 수 있다. 하지만 수정되지 않은 원래의 오일러 다면체 공식은 작은 별모양 십이면체 {5/2, 5}와 그것의 쌍대인 큰 십이면체 {5, 5/2}에는 적용되지 않는데, 이 다면체들의 경우 ''V'' − ''E'' + ''F'' = −6 이기 때문이다.
별 정다면체들은 두 쌍의 쌍대 관계로 존재하며, 각 쌍은 동일한 밀도를 가진다. 한 쌍인 작은 별모양 십이면체와 큰 십이면체는 밀도가 3이고, 다른 쌍인 큰 별모양 십이면체와 큰 이십면체는 밀도가 7이다.
에드먼드 헤스는 이 공식을 더욱 일반화하여, 면이 다른 면 위로 겹쳐지거나 접힐 수 있는 경우를 포함한 다양한 종류의 면을 가진 별 다면체에도 적용할 수 있도록 만들었다. 헤스가 일반화한 공식은 Σi''d''vi''V''i - ''E'' + Σi''d''fi''F''i = 2''D'' 이다. 이 공식에서 계산된 밀도 값은 해당 다면체와 관련된 구면 다면체가 구 표면을 몇 번 덮는지에 해당하는 값이며, 이를 통해 콕서터 등은 여러 면 유형을 가진 대부분의 고른 다면체의 밀도를 결정할 수 있었다.[4][7]
그러나 일부 면이 다면체의 중심을 통과하는 반다면체나 방향을 정할 수 없는(비가향) 다면체의 경우에는 밀도를 명확하게 정의하기 어렵다.
3. 5. 비가향 다면체
일부 면이 중심을 통과하는 반다면체나 비가향 다면체는 밀도를 명확하게 정의하기 어렵다.4. 폴리코론 (4차원 다포체)
4차원의 별 정폴리코론(슐레플리-헤스 폴리코론)은 총 10개가 존재한다. 이들의 밀도는 4, 6, 20, 66, 76, 191 중 하나이다. 이들은 밀도가 6인 큰 백이십포체와 밀도가 66인 거대 별모양 백이십포체는 자기쌍대이며, 나머지 폴리코론들은 서로 쌍대쌍 관계를 이룬다. 예를 들어 밀도가 4인 작은 별모양 백이십포체와 정이십면체 백이십포체는 서로 쌍대 관계이다.
4. 1. 슐레플리-헤스 폴리코론 목록 (밀도순)
밀도가 4, 6, 20, 66, 76, 191인 슐레플리-헤스 폴리코론(별모양 정규 4차원 다포체)은 총 10개가 존재한다. 이들은 밀도가 6과 66인 자기쌍대 다포체를 제외하고는 서로 쌍대 관계를 이룬다. 각 폴리코론의 목록은 다음과 같다.| 밀도 | 이름 | 슐레플리 기호 | 쌍대 관계 |
|---|---|---|---|
| 4 | 작은 별모양 백이십포체 | {5/2, 5, 3} | 정이십면체 백이십포체 |
| 정이십면체 백이십포체 | {3, 5, 5/2} | 작은 별모양 백이십포체 | |
| 6 | 큰 백이십포체 | {5, 5/2, 5} | 자기쌍대 |
| 20 | 큰 별모양 백이십포체 | {5/2, 3, 5} | 거대 백이십포체 |
| 거대 백이십포체 | {5, 3, 5/2} | 큰 별모양 백이십포체 | |
| 66 | 거대 별모양 백이십포체 | {5/2, 5, 5/2} | 자기쌍대 |
| 76 | 큰 이십면체 백이십포체 | {3, 5/2, 5} | 큰 거대 백이십포체 |
| 큰 거대 백이십포체 | {5, 5/2, 3} | 큰 이십면체 백이십포체 | |
| 191 | 큰 거대 별모양 백이십포체 | {5/2, 3, 3} | 거대 육백포체 |
| 거대 육백포체 | {3, 3, 5/2} | 큰 거대 별모양 백이십포체 |
참조
[1]
서적
The Beauty of Geometry: Twelve Essays
Dover Publications
1999
[2]
논문
Geometry and the Imagination in Minneapolis
https://arxiv.org/ab[...]
[3]
서적
Polyhedra
https://books.google[...]
CUP
1997
[4]
간행물
1954
[5]
서적
The Beauty of Geometry: Twelve Essays
Dover Publications
1999
[6]
서적
Polyhedra
https://books.google[...]
CUP
1997
[7]
간행물
1954
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